Ang kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok. Ang teorama sa kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok

Ang tatsulok ay isang polygon sa pagkakaroon ng tatlong panig (tatlong angles). Karamihan sa mga madalas, ang bahagi denote sa pamamagitan ng maliit na titik kaukulang malalaking titik, na kung saan ay kumakatawan sa tapat vertex. Sa artikulong ito namin kumuha ng isang pagtingin sa mga uri ng geometriko hugis, teorama, na tumutukoy sa kung ano ang katumbas ng sum ng angles ng isang tatsulok.

Uri ng pinakamalaking anggulo

Ang mga sumusunod na uri ng mga polygon na may tatlong vertices:

• malalang-angled, kung saan ang lahat ng mga angles ay matalim;
• hugis-parihaba pagkakaroon ng isang karapatan anggulo, sa gilid na bumubuo nito, tinutukoy ang mga binti, at sa gilid na itapon na katapat ng right angle ay tinatawag na hypotenuse;
• mapurol ang ulo kapag ang isang anggulo ay mahina ang ulo ;
• isosceles, na ang dalawang panig ay pantay-pantay, at sila ay tinatawag na lateral, at ang ikatlong - isang tatsulok na may isang batayang;
• equilateral pagkakaroon ng tatlong pantay na gilid.

mga pag-aari

Maglaan ng mga pangunahing katangian na katangian ng bawat uri ng tatsulok:

• kabaligtaran ang pinakamalaking bahagi ay palaging mas mataas na anggulo, at vice versa;
• ay pantay-pantay anggulo sa tapat ng pantay-pinakamalaking partido, at vice versa;
• sa anumang tatsulok ay may dalawang matinding angles;
• panlabas na anggulo mas malaki kaysa sa anumang panloob na anggulo hindi katabi dito;
• ang kabuuan ng anumang dalawang mga anggulo ay palaging mas mababa kaysa sa 180 degrees;
• exterior anggulo ay katumbas ng sum ng dalawang iba pang mga sulok, na hindi mezhuyut sa kanya.

Ang teorama sa kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok

Ang teorama mga estado na kung nagdagdag ka ng lahat ang mga sulok ng geometric na hugis, na kung saan ay matatagpuan sa Euclidean eroplano, at pagkatapos ay ang kanilang sum ay magiging 180 degrees. Subukan upang patunayan teorama na ito Hayaan.

Hayaan mayroon kaming isang arbitrary tatsulok na vertices KMN. Sa kabila ng tuktok ng M ay humawak ng isang direktang kahilera sa linya KN (kahit na ang linyang ito ay tinatawag na Euclid). Dapat ito ay nabanggit sa punto A upang ang mga puntos K at A ay isinaayos mula sa iba't ibang panig ng linya MN. makuha namin ang parehong anggulo ng AMS at MUF, kung saan, tulad ng interior, hindi nagsasabi ng totoo pahalang upang bumuo ng intersecting MN kasabay ng direktang CN at MA, na kung saan ay pagpaparis. Mula ito ay sumusunod na ang kabuuan ng mga angles ng tatsulok, na matatagpuan sa vertices ng M at N ay katumbas ng laki ng CMA anggulo. Ang lahat ng tatlong mga anggulo ay binubuo ng isang halagang kapantay ng kabuuan ng mga anggulo ng KMA at MCS. Dahil ang data ay panloob na anggulo kamag-sided parallel na linya CL at CM MA sa intersecting, ang kanilang sum ay 180 degrees. Ito proves ang teorama.

resulta

Sa itaas ng itaas teorama nagpapahiwatig ng mga sumusunod na corollary: bawat tatsulok ay may dalawang talamak na anggulo. Upang mapatunayan ito, ipaalam sa amin ipalagay na ito heometriko figure ay may lamang ng isang matalas na anggulo. Maaari mo ring ipagpalagay na wala sa mga kanto ay hindi matalim. Sa kasong ito ito ay dapat na hindi bababa sa dalawang mga anggulo, ang magnitude ng kung saan ay katumbas ng o mas malaki kaysa sa 90 degrees. Ngunit pagkatapos ay ang kabuuan ng mga anggulo ay mas malaki kaysa sa 180 degrees. Ngunit ito ay hindi maaaring maging, tulad ng ayon sa mga theorem sum ng angles ng isang tatsulok ay katumbas ng 180 ° - walang labis, walang kulang. Iyan ay kung ano ang nagkaroon na di-napatutunayang.

Ari-arian sa labas ng sulok

Ano ay ang kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok, na mga panlabas na? Ang sagot sa katanungang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglalapat ng isa sa dalawang paraan. Ang una ay na kailangan mo upang mahanap ang sum ng angles, na kung saan ay kinuha ng isa sa bawat kaitaasan, iyon ay, tatlong mga anggulo. ikalawang Ang ay nagpapahiwatig na kailangan mo upang mahanap ang kabuuan ng anim na mga anggulo sa mga vertex. Upang harapin ang simula ng unang sagisag. Kaya, ang tatsulok ay naglalaman ng anim na mga panlabas na sulok - sa tuktok ng bawat isa sa dalawa. Ang bawat pares ay may pantay na anggulo sa pagitan ng kanilang mga sarili, dahil ang mga ito vertical:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Sa karagdagan, ito ay kilala na ang mga panlabas na sulok ng isang tatsulok ay katumbas ng sum ng dalawang interior, na hindi mezhuyutsya sa kanya. samakatuwid,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Mula sa lumalabas na ang kabuuan ng mga exterior anggulo, na kung saan ay kinuha ng isa-isa na malapit sa bawat kaitaasan ay magiging katumbas ng:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Given ang katunayan na ang kabuuan ng mga anggulo ay katumbas ng 180 degrees, maaari itong Nagtalo na ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Ito ay nangangahulugan na ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Kung ang pangalawang opsyon ay ginagamit, ang kabuuan ng anim na angles ay correspondingly mas mataas nang dalawang beses. Ibig sabihin, ang kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok sa labas ay magiging:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

right triangle

Ano ang katumbas ng sum ng angles ng isang karapatan tatsulok, ay ang isla? Ang sagot ay, muli, mula teorama, na estado na ang mga anggulo ng isang tatsulok magdagdag ng hanggang sa 180 degrees. Ang isang sound aming assertion (property) tulad ng sumusunod: sa isang karapatan tatsulok matalim anggulo magdagdag ng hanggang sa 90 degrees. Pinatutunayan natin ang kanyang katotohanan. Magkaroon naibigay na tatsulok KMN, na kung saan ∟N = 90 °. Ito ay kinakailangan upang patunayan na ∟K ∟M = + 90 °.

Kaya, ayon sa teorama sa kabuuan ng mga anggulo ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Sa ganitong kalagayan ng ito ay sinabi na ∟N = 90 °. Ito ay lumiliko out ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Iyon ay ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Iyan ang dapat nating patunayan.

Sa karagdagan sa nasa itaas properties ng isang karapatan tatsulok, maaari mong idagdag ang mga ito:

• anggulo, na kung saan hindi nagsasabi ng totoo laban sa mga binti ay matulis;
• hypotenuse ng tatsulok na mas malaki kaysa sa alinman sa mga binti;
• ang kabuuan ng mga binti higit sa hypotenuse;
• leg ng tatsulok, na kung saan ay namamalagi sa tapat ng anggulo ng 30 degrees, kalahati ng hypotenuse, iyon ay katumbas ng kalahati nito.

Bilang isa pang ari-arian ng ang geometric na hugis ay maaaring mukhang mahal Pitagoryan teorama. Siya argues na sa isang tatsulok na may isang anggulo ng 90 degrees (hugis-parihaba), ang kabuuan ng mga kahon ng mga binti ay katumbas ng square ng hypotenuse.

Ang kabuuan ng angles ng isang isosceles tatsulok

Mas maaga sinabi namin na ang isang isosceles tatsulok ay isang polygon na may tatlong vertices, na naglalaman ng dalawang pantay na gilid. ari-arian na ito ay kilala heometriko figure: ang mga anggulo sa base nito pantay. Ipaalam sa amin patunayan ito.

Dalhin ang tatsulok KMN, na kung saan ay isosceles, SC - base nito. Kinakailangan naming patunayan na ∟K = ∟N. Kaya, ipaalam sa amin ipalagay na MA - KMN ay ang panggitnang guhit ng ating tatsulok. ICA tatsulok sa unang pag-sign ng pagkakapantay-pantay ay tatsulok MNA. Lalo, sa pamamagitan ng hypothesis ibinigay na CM = NM, MA ay isang pangkaraniwang bahagi, ∟1 = ∟2, dahil MA - ito panggitnang guhit. Gamit ang pagkakapantay-pantay ng dalawang triangles, maaari isa magtaltalan na ∟K = ∟N. Kaya, ang teorama ay di-napatutunayang.

Ngunit kami ay interesado sa, kung ano ay ang kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok (isosceles). Dahil sa kadahilanang ito ito ay hindi magkaroon ng mga tampok nito, magsisimula kami mula sa teorama napag-usapan dati. Iyon ay, maaari naming sabihin na ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, o 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (bilang ∟K = ∟N). Ito ay hindi patunayan ang ari-arian, pati na ang teorama sa kabuuan ng mga angles ng isang tatsulok ay pinatunayan mas maaga.

Maliban sa mga itinuturing na mga katangian ng ang mga sulok ng isang tatsulok, mayroon ding mga tulad mahalagang pahayag:

• sa isang equilateral triangle taas, na kung saan ay binabaan sa base, ay sabay-sabay na ang panggitna panggitnang guhit ng anggulo kung saan ay sa pagitan ng pantay na gilid at ang axis ng mahusay na proporsyon ng mga tungtungan niya;
• panggitna (panggitnang guhit, altitude), na kung saan ay gaganapin sa panig ng isang geometric figure, ay pantay-pantay.

equilateral triangle

Ito ay tinatawag din na ang karapatan, ay ang tatsulok, na kung saan ay pantay-pantay sa lahat ng mga partido. At samakatuwid ay din pantay at anggulo. Ang bawat isa sa mga ito ay 60 degrees. Ipaalam sa amin patunayan ang property na ito.

Ipaalam sa amin ipagpalagay na kami ay may isang tatsulok KMN. Alam natin na ang KM = HM = KH. Ang ibig sabihin nito, ayon sa pag-aari ng mga anggulo na matatagpuan sa base sa isang equilateral triangle ∟K = ∟M = ∟N. Dahil, ayon sa kabuuan ng angles ng isang tatsulok teorama ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, pagkatapos ay x 3 = 180 ° ∟K o ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Kaya, ang assertion ay proved. Tulad ng nakikita mula sa nasa itaas na batay sa itaas teorama, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang equilateral triangle, bilang ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang iba pang mga tatsulok ay 180 degrees. Muli na nagpapatunay teorama na ito ay hindi kinakailangan.

May mga pa rin ang ilang mga katangian katangian ng isang equilateral triangle:

• panggitna panggitnang guhit taas sa isang heometriko figure magkakahawig, at ang kanilang haba ay kinakalkula bilang (a x √3): 2;
• kung ito polygon circumscribing ang bilog, pagkatapos ay ang radius ay katumbas ng (a x √3): 3;
• kung inscribed sa isang bilog equilateral triangle, radius nito ay magiging (a x √3): 6;
• lugar ng geometric figure ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula: (a2 x √3): 4.

mahina ang ulo tatsulok

Sa pamamagitan ng kahulugan, isang mahina ang ulo-angled tatsulok, isa sa mga sulok ay sa pagitan ng 90 sa 180 degrees. Ngunit ibinigay ang katunayan na ang iba pang dalawang mga anggulo ng geometric na hugis matutulis na, ito ay maaaring concluded na hindi sila lalampas sa 90 degrees. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok teorama ay gumagana sa pagkalkula ng kabuuan ng mga anggulo sa isang mahina ang ulo tatsulok. Kaya, maaari naming ligtas na sabihin, batay sa ang teorama sa itaas na ang kabuuan ng mga mahina ang ulo angles ng isang tatsulok ay 180 degrees. Muli, ito teorama ay hindi na kailangan upang muling i-proof.