Pendulum: panahon at acceleration ng formula

Ang makina sistema na binubuo ng isang materyal na point (ng katawan), na hangs sa isang walang timbang inextensible filament (masa nito ay bale-wala kung ihahambing sa ang bigat ng katawan) sa isang pare-parehong gravitational field, na tinatawag na mathematical pendulum (isa pang pangalan - osileytor). May mga iba pang mga uri ng mga aparato. Sa halip na isang filament walang timbang baras maaaring gamitin. Palawit ay maaaring malinaw na ipakita ang kakanyahan ng maraming mga kagiliw-giliw na phenomena. Kapag maliit na malawak vibration ng kanyang galaw ay tinatawag na maharmonya.

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa sistema ng makina

Ang formula ng osilasyon panahon ng palawit ay makapal na tabla Dutch siyentipiko Huygens (1629-1695 gg.). Ang kontemporaryong ni Isaac Newton ay masyadong mahilig ng mechanical system. Sa 1656 nilikha niya ang unang relo na may isang pendulum mekanismo. Sila ay sinusukat ang oras na may matinding katumpakan para sa mga oras na iyon. Imbensyon na ito ay isang pangunahing hakbang sa pag-unlad ng pisikal na mga eksperimento at mga praktikal na mga gawain.

Kung ang palawit ay sa isang punto ng balanse posisyon (nagha-hang patayo), ang puwersa ng grabidad ay balanse sa pamamagitan ng yarn tensyon na puwersa. Flat pendulum sa isang hindi-stretchable yarns ay isang sistema na may dalawang degree ng kalayaan ng komunikasyon. Kapag ang pagpapalit lamang ng isang bahagi ng pagbabago ng mga katangian ng lahat ng mga bahagi nito. Halimbawa, kung ang isang thread ay napalitan ng isang tungkod, at pagkatapos na ito mechanical system ay lamang 1 antas ng kalayaan. Ano, pagkatapos, ang mga katangian ng isang matematikal na pendulum? Sa ganitong simpleng sistema, sa ilalim ng impluwensiya ng isang pana-panahon na pag-aalaala, ganap na kaguluhan ay lilitaw. Sa kasong iyon, kapag ang suspensyon punto ay hindi gumagalaw, at oscillates isang palawit doon ay isang bagong punto ng balanse posisyon. Kung mabilis na pagbabago-bago up at down na ito mechanical system ay nagiging matatag na posisyon "baligtad." Mayroon din itong pangalan nito. Ito ay tinatawag na Kapitza palawit.

Ang mga ari-arian ng mga palawit

Palawit ay napaka-kagiliw-giliw na mga katangian. Lahat ng mga ito ay sinusuportahan ng kilalang pisikal na mga batas. Ang panahon ng osilasyon ng palawit anumang iba pang depende sa iba't-ibang mga pangyayari tulad ng mga sukat at hugis ng katawan, ang distansya sa pagitan ng punto ng suspensyon at ang sentro ng grabidad, timbang pamamahagi na may paggalang sa puntong ito. Iyon ay kung bakit ang kahulugan ng panahon ng nakikipag-hang katawan ay lubos na mahirap. Ay lubhang mas madaling upang makalkula ang tagal ng isang simpleng pendulum, ang formula na kung saan ay ibinigay sa ibaba. Bilang resulta ng pagmamasid sa mga pattern ay maaaring itakda sa mga katulad na sistema ng makina:

• Kung, habang pinapanatili ang parehong haba ng mga palawit, sinuspinde mula sa isang iba't ibang mga naglo-load, ang panahon ng osilasyon makuha ang parehong, kahit na ang kanilang timbang ay mag-iiba lubhang. Bilang resulta, ang panahon ng palawit ay hindi nakasalalay sa mga bigat ng load.

• Kung ang sistema ay nagsisimula na tanggihan sa ang palawit ay hindi masyadong malaki, ngunit iba't ibang mga anggulo, ito ay paiba-iba na may parehong panahon, ngunit sa iba't ibang mga amplitudes. Habang deviations mula sa sentro ng balanse ay hindi masyadong malaki pagbabagu-bago sa kanilang anyo ay magiging malapit-lapit maharmonya. Ang tagal ng tulad ng isang palawit ay hindi nakasalalay sa mga vibrational amplitude. Ito ari-arian ng mga makina na sistema ay tinatawag na isochronism (sa Griyego "chronos" - time "Izosov" - pantay).

Ang tagal ng isang simpleng pendulum

figure na ito ay kumakatawan ang natural na panahon ng osilasyon. Sa kabila ng komplikadong pagbabalangkas, ang mismong proseso ay napaka-simple. Kung ang haba ng sinulid mathematical pendulum L, at ang gravitational acceleration g, ang halaga na ito ay katumbas ng:

T = 2π√L / g

Maliit na tagal ng natural oscillations hindi sa anumang paraan ay hindi nakasalalay sa mga mass ng pendulum at ang imbayog amplitude. Sa kasong ito, bilang isang mathematical palawit gumagalaw na may nabawasan ang haba.

Oscillations ng isang matematikal na palawit

Mathematical pendulum oscillates, na maaaring inilarawan sa pamamagitan ng isang simpleng equation na kaugalian:

x + ω2 kasalanan x = 0,

kung saan ang x (t) - hindi alam na function (na ito anggulo ng pagpapalihis mula sa mas mababang posisyon ng balanse sa oras t, ipinahayag sa radians); ω - isang positibong pare-pareho kung saan ay natukoy mula sa mga parameter ng palawit (ω = √g / L, kung saan g - ang acceleration ng gravity, at L - ang haba ng isang simpleng pendulum (suspension).

Equation maliit oscillations na malapit sa punto ng balanse posisyon (harmonic equation) tulad ng sumusunod:

x + ω2 kasalanan x = 0

Oscillatory paggalaw ng palawit

Pendulum, na gumagawa ng maliliit na oscillations, paglipat sinusoid. Pangalawang order na kaugalian equation ay nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan at mga parameter ng naturang kilusan. Upang matukoy ang landas na kailangan mo upang i-set ang bilis at coordinate, na kung saan mamaya tinutukoy independiyenteng constants:

x = A kasalanan (θ ₀ + ωt),

kung saan θ ₀ - paunang phase, A - amplitude ng imbayog, ω - cyclic dalas natutukoy mula sa equation ng paggalaw.

Pendulum (formula para sa mga malalaking amplitudes)

Ito mechanical system, maisagawa ang kanilang mga oscillations na may isang malaking malawak, ito ay napapailalim sa mas kumplikadong mga batas trapiko. sila ay kinakalkula ayon sa ang formula para sa mga naturang isang patango:

kasalanan x / 2 = u * sn (ωt / u),

kung saan sn - sine Jacobi, na para sa u <1 ay isang pana-panahong mga function, at para sa mga maliliit u ito coincides sa simpleng trigonometriko sine. Ang halaga ng u ay tinutukoy ng mga sumusunod na pagpapahayag:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

kung saan ε = E / ML2 (ML2 - enerhiya ng palawit).

Pagpapasiya ng nonlinear osilasyon panahon ng palawit sa pamamagitan ng mga sumusunod na formula:

T = 2π / Ω,

kung saan Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - tambilugin integral, π - 3,14.

ang palawit paggalaw ng mga separatrix

Ito ay tinatawag na separatrix trajectory ng mga dynamic na sistema, kung saan ang isang dalawang-dimensional phase space. Pendulum gumagalaw sa isang hindi-pana-panahon. Sa walang hanggan malayo punto ng oras na ito ay bumaba mula sa matinding itaas na posisyon patungo sa isang zero bilis, at pagkatapos ay ito ay unti-unting pagkakaroon. Siya sa huli ay tumigil, sa pagbabalik sa orihinal nitong posisyon.

Kung ang amplitude ng imbayog ng pendulum ay nalalapit sa bilang pi, ito ay sinabi na ang galaw sa bahaging plane ay malapit sa separatrix. Sa kasong ito, sa ilalim ng pagkilos ng isang maliit na panaka-nakang na puwersa sa pagmamaneho ng mechanical system na nagpapakita magulong pag-uugali.

Sa kaganapan ng isang simpleng pendulum mula sa punto ng balanse posisyon sa isang anggulo cp nangyayari tanghential puwersa Fτ = -mg kasalanan φ grabidad. "Minus" sign ay nangangahulugan na ang tanghential component nakadirekta sa tapat ng direksyon mula sa direksyon ng paglihis ng palawit. Kapag nagre-refer sa pamamagitan ng pendulum aalis x kasama ng isang circular arc na may isang radius L ay katumbas nito anggular pag-aalis φ = x / L. Ang ikalawang batas Isaaka Nyutona, dinisenyo para sa projection ng acceleration vector at lakas ibigay ang nais na halaga:

mg τ = Fτ = -mg kasalanan x / L

Batay sa ratio na ito, ito ay malinaw na ang palawit ay isang nonlinear system, bilang isang puwersa na tends upang bumalik sa kanyang balanse posisyon, ay hindi palaging proporsyonal sa ang pag-aalis x, isang kasalanan x / L.

Lamang kapag ang matematikal na palawit ay gumaganap maliit na vibration, ito ay isang maharmonya osileytor. Sa ibang salita, ito ay nagiging isang makina na sistema na may kakayahang gumaganap maharmonya oscillations. approximation na ito ay may-bisa para sa halos angles 15-20 °. Palawit na may malaking amplitudes ay hindi magkatugma.

batas ni Newton para sa mga maliliit oscillations ng isang pendulum

Kung ang makina na sistema ay gumaganap maliit oscillations, batas 2nd ni Newton ay ganito ang hitsura:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sa batayan na ito, maaari naming tapusin na ang tanghential acceleration ng isang simpleng pendulum ay proporsyonal sa pag-aalis nito sa pag-sign "minus". Ito ay isang kalagayan kung saan ang sistema ay nagiging isang maharmonya osileytor. Module pagkaproporsyonado factor sa pagitan ng pag-aalis at ang acceleration ay katumbas ng square ng angular frequency:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Ang formula na ito ay sumasalamin sa natural na dalas ng mga maliliit na mga oscillations ng ganitong uri ng palawit. Sa ganitong batayan,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Kalkulasyon batay sa batas ng konserbasyon ng enerhiya

Properties oscillating pendulum mga paggalaw ay maaaring inilarawan sa tulong ng mga batas ng konserbasyon ng enerhiya. Dapat itong makitid ang isip sa isip na ang mga potensyal na enerhiya ng mga palawit sa isang gravitational field ay:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Buong makina enerhiya ay katumbas ng kinetic at maximum na mga potensyal na: Epmax = Ekmsx = E

Pagkatapos mong isulat ang kautusan ng konserbasyon ng enerhiya, paglalaan ng mga hinalaw na ng kaliwa at kanang panig ng equation:

Ep + Ek = const

Dahil ang mga kinopyang ng constants ay katumbas ng 0, pagkatapos ay (Ep + Ek) '= 0. Ang mga likhang ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

samakatuwid:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Base sa huling formula, nakita namin: α = - g / L * x.

Praktikal na application ng matematikal na palawit

Acceleration mga libreng pagkahulog ay nag-iiba sa latitude, dahil ang density ng ang crust sa paligid ng mga planeta ay hindi magkapareho. Saan rocks mangyari na may isang mas mataas na density, ito ay bahagyang mas mataas. Acceleration ng matematikal na palawit ay madalas na ginagamit para sa paggalugad. Sa kanyang tulong hitsura para sa iba't ibang mga mineral. pagbibilang lamang ang bilang ng mga oscillations ng isang patango, ito ay posible na tuklasin ang karbon o ng mineral sa bituka ng Earth. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga mapagkukunang ito ay may isang density at timbang ng higit sa pagsisinungaling sa ilalim ng maluwag rocks.

Mathematical pendulum na ginagamit ng naturang prominenteng iskolar bilang Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Marami sa kanila ay naniniwala na ang mga mechanical system ay maaaring makaimpluwensiya sa kapalaran at buhay. Archimedes ginagamit ang matematikal na palawit sa kanyang mga kalkulasyon. Sa panahong ito, maraming mga occultists at saykika gamitin ang mechanical system para sa pagpapatupad ng mga hula nito, o ang search para sa mga nawawalang mga tao.

Ang sikat na Pranses na astronomo at siyentipiko, Flammarion para sa kanilang pananaliksik na ginagamit din ng isang matematikal na palawit. Siya inaangkin na sa kanyang tulong siya ay magagawang upang mahulaan ang pagkatuklas ng isang bagong planeta, ang paglitaw ng Tunguska meteorite, at iba pang mga mahalagang kaganapan. Sa panahon ng Ikalawang Digmaang Pandaigdig sa Germany (Berlin) nagtrabaho bilang isang dalubhasang institute ng mga palawit. Sa panahong ito, tulad ng pananaliksik ay hindi magagamit Munich Institute ng parasihologiya. Ang kanyang trabaho sa ang palawit sa tungkod na ito na institusyon na tinatawag na "radiesteziey".