Cramer ng patakaran at application nito

Cramer ng patakaran - ay isa sa mga eksaktong pamamaraan para sa solving systems sa haba ng algebraic equation (Slough). Ang katumpakan nito dahil sa ang paggamit ng mga determinants ng sistema ng matrix, pati na rin ang ilan sa mga paghihigpit ipataw sa patunay ng teorama.

Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation na may coefficients na kabilang sa, halimbawa, isang mayorya ng R - tunay na numero ng mga unknowns x1, x2, ..., xn ay isang koleksyon ng mga expression

Ai2 x1 + Ai2 x2 + ... ain xn = bi na may i = 1, 2, ..., m, (1)

kung saan AIJ, bi - tunay na numero. Ang bawat isa sa mga expression na ito ay tinatawag na isang linear equation, AIJ - coefficients ng mga unknowns, bi - independent coefficients ng equation.

solusyon ng (1) refer sa n-dimensional vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), kung saang pagpapalit sa sistema para sa mga unknowns x1, x2, ..., xn, bawat isa sa mga linya sa ang sistema ay nagiging pinakamahusay na equation .

Ang sistema ay tinatawag na pare-pareho kung ito ay may hindi bababa sa isang solusyon, at hindi pantay-pantay, kung ito ay kasabay ang solusyon set ng mga walang laman na hanay.

Dapat ito ay remembered na upang makahanap ng mga solusyon sa sistema ng mga guhit equation gamit ang paraan ng Cramer, matrix system kailangang maging square, kung saan talaga ay nangangahulugan na ang parehong bilang ng mga unknowns at equation sa sistema.

Kaya, upang gamitin ang paraan ng Cramer, dapat kang hindi bababa sa malaman kung ano ang matrix ay isang sistema ng mga linear algebraic equation, at maibigay ito. At ikalawa, upang maunawaan kung ano ay tinatawag na nagtatakda ng matris at ang kanyang sariling mga kasanayan ng komputasyon.

Ipaalam sa amin ipagpalagay na ang kaalaman na ito nagtataglay. Wonderful! Pagkatapos ay kailangan mong lang kabisaduhin mga formula pagtukoy Kramer paraan. Upang gawing simple ang memorization gamitin ang sumusunod na notasyon:

• Det - ang pangunahing nagtatakda ng matris ng sistema;

• deti - ay ang nagtatakda ng matris na nakuha mula sa pangunahing matrix ng system sa pamamagitan ng pagpapalit i-ika haligi ng matrix sa isang haligi vector ang mga sangkap ay ang karapatan panig ng linear algebraic equation;

• n - ang bilang ng mga unknowns at equation sa sistema.

Pagkatapos Cramer ng patakaran pagkwenta i-ika component xi (i = 1, .. n) n-dimensional vector x ay maaaring isulat bialng

xi = deti / Det, (2).

Sa kasong ito, Det mahigpit na naiiba mula sa zero.

Ang natatangi ng ang solusyon ng sistema kapag ito ay sama-sama na ibinigay sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay na kalagayan ng pangunahing nagtatakda ng sistema sa zero. Sa kabilang banda, kung ang kabuuan ng (xi), squared, mahigpit na positibo, pagkatapos ay SLAE isang parisukat na molde ay infeasible. Ito ay maaaring mangyari sa mga partikular na kapag hindi bababa sa isa deti nonzero.

Halimbawa 1. Upang malutas ang tatlong-dimensional LAU system gamit Cramer ng formula.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Desisyon. Isulat namin down ang matrix ng sistema ng linya sa pamamagitan ng linya, kung saan ang Ai - ay ang i-ika-hilera ng matris.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Haligi libreng coefficients b = (31 29 10).

Ang pangunahing sistema ay ang tiyak na dahilan Det
Det = a11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - a11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Upang kalkulahin ang permutasyon det1 gamit a11 = b1, A21 = B2, A31 = b3. pagkatapos
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Katulad nito, upang makalkula det2 paggamit pagpapalit A12 = b1, A22 = B2, A32 = b3, at, nang naaayon, upang makalkula det3 - A13 = b1, A23 = B2, A33 = b3.
Pagkatapos ay maaari mong suriin na det2 = -108, at det3 = - 135.
Ayon sa formula Cramer hanapin x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Sagot: x ° = (3,4,5).

Umasa sa ang applicability ng panuntunang ito, ang paraan ng Kramer paglutas ng mga sistema ng mga guhit equation ay maaaring gamitin hindi direkta, halimbawa, upang siyasatin ang system sa posibleng bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng isang parameter k.

Halimbawa 2. Upang matukoy kung ano ang mga halaga ng mga parameter k hindi pagkakapantay-pantay | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ay may eksaktong isang solusyon.

Desisyon.
Ito hindi pagkakapantay-pantay, sa pamamagitan ng kahulugan ng module function na maaaring gumanap lamang kung ang parehong expression ay zero sabay-sabay. Samakatuwid, ang problemang ito ay nabawasan sa paghahanap ng mga solusyon sa haba algebraic equation

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Ang solusyon sa system na ito lamang kung ito ay ang pangunahing nagtatakda ng
Det = k ^ {2} + 1 ay nonzero. Ito ay malinaw na ang kundisyong ito ay nasiyahan para sa lahat ng tunay na mga halaga ng mga parameter k.

Sagot: para sa lahat ng tunay na mga halaga ng mga parameter k.

Ang layunin ng ganitong uri ay maaari ring mabawasan ng maraming mga praktikal na mga problema sa larangan ng matematika, pisika o kimika.