Ang equation ng eroplano: kung paano gumawa ng? Uri ng plane equation

Ang eroplano space ay maaaring tinukoy sa iba't ibang paraan (isa na tuldok at vector, vector at ang dalawang mga punto, tatlong punto, atbp). Ito ay may ito sa isip, ang plane equation ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga uri. Gayundin sa ilalim ng ilang mga kundisyon eroplano ay maaaring kahanay, tirik, intersecting, etc. Sa ito at makipag-usap sa artikulong ito. Susubukan naming malaman upang gawin ang mga pangkalahatang equation ng eroplano at hindi lamang.

Ang normal na form ng equation

Ipagpalagay R ay ang space _3, na may isang hugis-parihaba coordinate system XYZ. Kami tukuyin ang isang vector α, na kung saan ay inilabas mula sa panimulang punto O. Sa pamamagitan ng dulo ng vector α gumuhit ng eroplano P saan ay tirik na ito.

Magpakilala P sa isang di-makatwirang point Q = (x, y, z). Ang radius vector ng point Q sign letter p. Ang haba ng vector ay katumbas ng α p = IαI at Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ito unit vector, na kung saan ay itinuro sa direksyon ng vector α. α, β at γ - ay mga anggulo na nabuo sa pagitan ng mga vector at ang positibong direksyon Ʋ space axes x, y, z ayon sa pagkakabanggit. Ang projection ng isang punto sa vector QεP Ʋ ay isang pare-pareho na kung saan ay katumbas ng p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Ang equation sa itaas ay makahulugan kapag p = 0. Ang tanging n plane sa kasong ito, nais i-cross point O (α = 0), kung saan ay ang pinagmulan, at yunit vector Ʋ, inilabas mula sa punto O ay perpendikular sa P, bagaman ang direksyon nito, na nangangahulugan na ang vector Ʋ natutukoy hanggang sa ang sign. Previous equation ay ang aming eroplano P, ipinahayag sa vector form. Ngunit sa view ng mga coordinate nito ay:

P ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0. namin nakita ang plane equation sa normal na form.

Ang pangkalahatang equation

Kung ang equation sa mga coordinate i-multiply sa pamamagitan ng anumang numero na ay hindi katumbas ng zero, makuha namin ang equation na katumbas na ito na tumutukoy sa pinakadulo eroplano. Ito ay may mga sumusunod na form:

Dito, A, B, C - ay ang bilang ng mga sabay-sabay na naiiba mula sa zero. equation na ito ay tinatawag na equation ng pangkalahatang anyo ng eroplano.

Ang equation ng eroplano. Espesyal na kaso

equation ay maaaring pangkalahatan ay mabago na may karagdagang kondisyon. Isaalang-alang ang ilan sa mga ito.

Ipagpalagay na ang koepisyent A ay 0. Ito ay nagpapahiwatig na ang eroplano parallel sa paunang-natukoy na axis Ox. Sa kasong ito, ang form ng equation pagbabago: Wu + Cz + D = 0.

Katulad nito, sa anyo ng mga equation at ay mag-iiba sa mga sumusunod na kondisyon:

• Una, kung B = 0, ang equation pagbabago sa Axe + Cz + D = 0, na nais ipahiwatig ang mga paralelismo sa axis Oy.
• Pangalawa, kung C = 0, ang equation ay transformed sa Axe + By + D = 0, iyon ay upang sabihin tungkol sa parallel sa paunang-natukoy na axis Oz.
• Third, kung D = 0, ang equation ay lilitaw bilang Axe + By + Cz = 0, na kung saan ay nangangahulugan na ang eroplanong intersects O (ang pinagmulan).
• Ika-apat, kung A = B = 0, ang equation pagbabago sa Cz + D = 0, na kung saan ay patunayan na paralelismo Oxy.
• Fifth, kung B = C = 0, ang equation ay nagiging Axe + D = 0, na nangangahulugan na ang eroplano ay kahanay sa Oyz.
• Sixthly, kung A = C = 0, ang equation ay tumatagal ang form Wu + D = 0, ibig sabihin, iuulat sa paralelismo Oxz.

Form ng equation sa mga segment

Sa kaso kung saan ang mga numero ng A, B, C, D naiiba mula sa zero, ang form ng equation (0) ay maaaring maging tulad ng sumusunod:

x / a + y / b + z / c = 1,

kung saan ang isang = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Nakakatanggap kami bilang isang resulta equation na ang eroplano sa mga piraso. Dapat ito ay nabanggit na ang plane ay magsalubong sa x-axis sa punto na may mga coordinate (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), at Oz - (0,0, s).

Given ang equation x / a + y / b + z / c = 1, ito ay hindi mahirap upang mailarawan ang paglalagay ng eroplano na may kaugnayan sa isang paunang-natukoy coordinate system.

Ang mga coordinate ng normal vector

Ang normal na vector n sa plane P ay may mga coordinate na ang coefficients ng mga pangkalahatang equation ng eroplano, ibig sabihin, n (A, B, C).

Upang matukoy ang mga coordinate ng normal n, ito ay sapat na upang malaman ang pangkalahatang equation na ibinigay eroplano.

Kapag ginagamit ang equation sa seksyon na kung saan ay ang form x / a + y / b + z / c = 1, tulad ng sa pangkalahatang equation, maaari naming isulat ang mga coordinate ng alinman sa mga normal na vector ng isang naibigay na eroplano: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Dapat ito ay nabanggit na ang normal na vector ng pagtulong upang malutas ang iba't-ibang mga problema. Ang pinaka-karaniwang problema ay binubuo sa patunay na patayo o parallel eroplano, ang gawain ng paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano o ang mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano at tuwid na linya.

I-type ang ayon sa plane equation at mga coordinate ng point normal vector

Ang isang nonzero vector n, patayo sa isang naibigay na eroplano, na tinatawag na normal (normal) sa isang paunang-natukoy na eroplano.

Ipagpalagay na sa coordinate espasyo (isang hugis-parihaba coordinate system) Oxyz itakda:

• Mₒ point na may mga coordinate (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = A * i + B * j + C * k.

kailangan mong gumawa ng equation na ang eroplano na dumadaan sa Mₒ point patayo sa normal n.

Sa puwang pinili namin ang anumang di-makatwirang point at magpakilala M (x, y, z). Hayaan ang radius vector ng bawat punto M (x, y, z) ay r = x * i + y * j + z * k, at ang radius vector ng isang punto Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Ang punto M ay pagmamay-ari ng isang naibigay na eroplano, kung ang vector MₒM na patayo sa vector n. Isulat namin ang kalagayan ng orthogonality gamit ang skeilar produkto:

[MₒM, n] = 0.

Dahil MₒM = r-rₒ, ang vector equation ng plane magmumukhang ganito:

[R - rₒ, n] = 0.

equation na ito ay maaari ring magkaroon ng isa pang hugis. Para sa layuning ito, ang mga katangian ng ang produkto skeilar, at convert ang kaliwang bahagi ng equation. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Kung [rₒ, n] naitala bilang s, makuha namin ang mga sumusunod na equation: [r, n] - a = 0 o [r, n] = s, na nagpapahayag ng palagiang pagdating ng pagpapakitang ito sa normal na vector ng radius-vectors ng ibinigay na mga puntos na pag-aari ng eroplano.

Ngayon ay maaari kang makakuha ng mga coordinate i-type ang recording plane aming vector equation [r - rₒ, n] = 0. Dahil r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, at n = A * i + B * j + C * k, mayroon kaming:

Ito ay lumiliko out na kami ay may equation ay nabuo plane daan sa punto na patayo sa normal n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

I-type ang ayon sa plane equation at coordinate ng dalawang punto ng vector plane collinear

Kami tukuyin ang dalawang di-makatwirang punto M '(x', y ', z') at M "(x", y ", z"), pati na rin ang vector (a ', isang ", isang ‴).

Ngayon ay maaari naming magsulat ng equation paunang-natukoy na eroplano na kung saan ay ipinapasa sa pamamagitan ng mga umiiral na mga punto M 'at M ", at ang bawat punto sa coordinate M (x, y, z) agapay sa isang vector.

Kaya M'M vectors x = {x ', y-y'; zz '} at M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} ay dapat na coplanar may vector a = (a ', isang ", isang ‴), na nangangahulugan na ang (M'M M" M, a) = 0.

Kaya aming equation ng isang eroplano sa space magmumukhang ganito:

Uri ng plane equation, tumatawid tatlong punto

Sabihin nating mayroon kami ng tatlong puntos: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Mayroong mga ‴, z ‴), na hindi nabibilang sa parehong linya. Ito ay kinakailangan upang isulat ang equation ng plane ng pagpasa sa pamamagitan ng mga tatlong punto na tinukoy. geometry teorya argues na ang ganitong uri ng eroplano ay umiiral, ito ay isa at lamang lang. Dahil ito eroplanong intersects sa point (x ', y', z '), ang equation form na ay magiging:

Dito, A, B, at C ay iba mula sa zero sa parehong oras. Gayundin ibinigay eroplanong intersects sa dalawang higit pang mga point (x ", y", z ") at (x ‴, y ‴, z ‴). Sa ganitong koneksyon ay dapat na natupad sa ganitong uri ng kondisyon:

Ngayon ay maaari naming lumikha ng isang pare-parehong sistema ng mga equation (linear) may unknowns u, v, w:

Sa aming kaso x, yoz nakatayo di-makatwirang point na satisfies ang equation (1). Isinasaalang-alang equation (1) at isang sistema ng mga equation (2) at (3) ang sistema ng mga equation na nakalagay sa pigura sa itaas, ang vector satisfies N (A, B, C) na kung saan ay nontrivial. Ito ay dahil ang mga tiyak na dahilan ng sistema ay zero.

Equation (1) na nakuha namin, ito ay ang equation ng eroplano. 3 point siya talaga napupunta, at ito ay madali upang suriin. Upang gawin ito, palawakin natin ang tiyak na dahilan ng mga elemento sa unang hilera. Ng umiiral na mga ari-arian na tiyak na dahilan ay sumusunod na ang aming eroplano nang sabay-sabay intersects ang tatlong orihinal na paunang-natukoy na point (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Kaya nagpasya kaming sa gawain sa harap ng sa amin.

Dihedral anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Dihedral anggulo ay isang spatial geometric na hugis na nabuo sa pamamagitan ng dalawang half-eroplano na manggaling mula sa isang tuwid na linya. Sa ibang salita, bahagi ng ang space na kung saan ay limitado sa mga half-eroplano.

Ipagpalagay na mayroon kaming dalawang eroplano sa mga sumusunod na equation:

Alam namin na ang vector N = (A, B, C) at N¹ = (à¹, H¹, S¹) ayon sa paunang-natukoy na mga eroplano ay tirik. Kaugnay nito, ang anggulo φ pagitan vectors N at N¹ pantay na anggulo (dihedral), na kung saan ay matatagpuan sa pagitan ng mga eroplano. Ang skeilar produkto ay ibinibigay sa pamamagitan ng:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

dahil mismo

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (à¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na 0≤φ≤π.

Sa totoo lang dalawang eroplano na magsalubong, form dalawang anggulo (dihedral): φ ₁ at φ _2. Ang kanilang sum ay katumbas ng π (φ ₁ + φ ₂ = π). Tulad ng para sa kanilang mga cosines, ang kanilang absolute value ay pantay-pantay, ngunit ang mga ito ay iba't-ibang mga palatandaan, iyon ay, cos φ ₁ = -cos φ _2. Kung sa equation (0) ay napalitan ng A, B at C ng -Isang, -B at -C ayon sa pagkakabanggit, sa equation, makuha namin, ang tutukoy sa parehong eroplano, ang tanging anggulo φ sa equation cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | ito ay papalitan sa pamamagitan ng π-φ.

Ang equation ng patayo eroplano

Tinatawag na patayo sa eroplano, sa pagitan ng kung saan ang anggulo ay 90 degrees. Paggamit ng mga materyal na iniharap sa itaas, maaari naming mahanap ang equation ng isang eroplano na patayo sa isa. Ipagpalagay na mayroon kaming dalawang eroplano: Axe + By + Cz + D = 0, at + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Maaari naming sabihin na ang mga ito ay orthogonal kung cos = 0. Ito ay nangangahulugan na NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ang equation ng isang kahilera eroplano

Ito ay tinutukoy ng dalawang parallel eroplano na naglalaman ng walang mga punto sa karaniwan.

Ang kalagayan ng mga parallel eroplano (ang kanilang mga equation ay katulad ng sa mga nakaraang talata) ay na ang mga vectors N at N¹, na kung saan ay perpendikular sa kanila, collinear. Ang ibig sabihin nito na ang mga sumusunod na kondisyon ay nakamit pagkaproporsyonado:

A / ๠= B / C = H¹ / S¹.

Kung ang proportional salitang ito ay pinalawak - A / ๠= B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ito ay nagpapahiwatig na ang data ng eroplano ng pareho. Nangangahulugan ito na ang isang equation x + By + Cz + D = 0 at + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 ilarawan ang isang eroplano.

Ang layo mula sa punto sa eroplano

Ipagpalagay na mayroon kami ng isang eroplanong P, na kung saan ay ibinigay sa pamamagitan ng (0). Ito ay kinakailangan upang malaman ang distansya mula sa punto na may mga coordinate (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Kailangan mo upang dalhin ang equation sa eroplanong II normal na hitsura upang gawin itong:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Sa kasong ito, ρ (x, y, z) ay ang radius vector ng aming mga point Q, na matatagpuan sa n p - n ay ang haba ng patayo, na kung saan ay inilabas mula sa zero point, v - ay ang yunit vector, na kung saan ay nakaayos sa direksyon a.

Ang pagkakaiba ρ-ρº radius vector ng isang punto Q = (x, y, z), na pagmamay-ari n at ang radius vector ng isang naibigay na point Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ay tulad ng isang vector, ang ganap na halaga ng mga projection ng kung saan sa v katumbas ng distansya d, na kung saan ay kinakailangan upang mahanap ang mula sa Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) upang P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ngunit

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Kaya ito ay lumiliko out,

d = | (ρ ^0, v) p. |

Ngayon ito ay malinaw na upang makalkula ang distansya d mula ₀ hanggang Q plane P, ito ay kinakailangan upang gamitin ang normal na view plane equation, ang shift sa kaliwa ng p, at ang huling lugar ng x, y, z kapalit (hₒ, uₒ, zₒ).

Kaya, nakita namin ang ganap na halaga ng mga resulta na expression na kinakailangan d.

Gamit ang mga parameter ng wika, makuha namin ang halata:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Kung ang mga tinukoy na punto Q ₀ ay sa kabilang panig ng eroplano P bilang ang pinagmulan, at pagkatapos ay sa pagitan ng vector ρ-ρ ⁰ at v ay isang mahina ang ulo anggulo, sa gayon ay:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Sa kaso kapag ang point Q ₀ kasabay ng sa pinagmulan matatagpuan sa parehong panig ng U, ang acute angle ay nilikha, iyon ay:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Ang resulta ay na sa ang dating kaso (ρ ^0, v)> p, sa ikalawang (ρ ^0, v)

At ang tangent plane equation

May kinalaman sa eroplano hanggang sa ibabaw sa punto ng tangency Mº - isang plane na naglalaman ng lahat ng posibleng mga padaplis sa curve iguguhit sa pamamagitan ng puntong iyon sa ibabaw.

Gamit ang ibabaw form ng equation F (x, y, z) = 0 sa equation ng mga padaplis eroplano padaplis point Mº (hº, uº, zº) ay magiging:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Kung ang ibabaw ay nakatakda tahasang z = f (x, y), pagkatapos ay ang mga padaplis eroplano ay inilalarawan sa pamamagitan ng equation:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Ang intersection ng dalawang eroplano

Sa tatlong-dimensional space ay isang coordinate system (hugis-parihaba) Oxyz, na ibinigay ng dalawang eroplano P 'at P' na nago-overlap at hindi nag-tutugma. Dahil anumang eroplano, na kung saan ay sa isang hugis-parihaba coordinate system na tinukoy ng pangkalahatang equation, ipinapalagay namin na ang n 'at n "ay tinukoy sa pamamagitan ng ang equation isang' X + V'u S'z + + D '= 0 at A" + B x' + y Gamit ang "z + D" = 0. Sa kasong ito kami ay may normal n '(A', B 'C') ng plane P 'at ang normal n "(A", B ", C") ng eroplano P'. Tulad ng aming mga eroplano ay hindi parallel at hindi nag-tutugma, pagkatapos ay ang mga vectors ay hindi collinear. Gamit ang wika ng matematika, mayroon kaming kondisyon na ito ay maaaring nakasulat na bilang: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * At", λ * Sa ", λ * C"), λεR. Hayaan ang mga tuwid na linya na kung saan ay namamalagi sa intersection P 'at P ", ay naitala sa pamamagitan ng sulat ng isang, sa kasong ito a = P' ∩ P".

at - sa isang linya na binubuo ng isang mayorya ng mga punto (karaniwang) eroplano P 'at P ". Ito ay nangangahulugan na ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya ng, dapat sabay-sabay na bigyang-kasiyahan ang equation na isang 'X + V'u S'z + + D' = 0 at A "x + B '+ C y" z + D "= 0. Ito ay nangangahulugan na ang mga coordinate ng point ay magiging isang partikular na solusyon sa mga sumusunod na equation:

Ang resulta ay na ang solusyon (pangkalahatang) ng sistemang ito ng mga equation ay tutukoy sa mga coordinate ng bawat isa sa mga puntos sa linya na kung saan ay kumilos bilang ang punto ng intersection P 'at P ", at matukoy ang isang line sa isang coordinate system Oxyz (hugis-parihaba) space.