Paano upang makalkula ang lugar ng isang pyramid: ang base, side at puno?

Sa paghahanda para sa pagsusulit sa mga mag-aaral matematika ay may upang ayusin ang kaalaman ng algebra at geometry. Gusto kong pagsamahin ang lahat ng mga kilalang impormasyon, tulad ng kung paano upang makalkula ang lugar ng isang pyramid. Dagdag pa rito, simula mula sa ilalim at gilid nakaharap hanggang sa ang buong ibabaw na lugar. Kung ang side nakaharap ang sitwasyon ay malinaw, ang mga ito ay triangles, ang base ay palaging naiiba.

Paano upang maging kapag ang lugar ng base ng pyramid?

Maaari itong maging lubos na anumang figure mula sa isang di-makatwirang tatsulok sa n-gon. At ito base, maliban sa mga pagkakaiba sa bilang ng mga anggulo, ay maaaring tama o mali ang figure. Sa interes ng mga mag-aaral na mga gawain sa pagsusulit na natagpuan lamang trabaho kasama ang tamang numero sa base. Samakatuwid, ipapakita lamang namin makipag-usap tungkol sa mga ito.

equilateral triangle

Iyon ay equilateral. Isa ang lahat ng partido ay pantay-pantay at ay itinalaga ng titik "a". Sa kasong ito, ang base area ng pyramid ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula:

S = (a ² * √3) / 4.

parisukat

Ang formula upang makalkula ang lugar ay ang pinakasimpleng, ay "a" - side ay muli:

At S = ^2.

Arbitrary regular n-gon

Sa panig ng polygon sa parehong pagtatalaga. Para sa bilang ng mga anggulo na ginamit Latin titik na n.

S = (n * isang ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Paano upang ipasok sa pagkalkula ng mga lugar ng pag-ilid at buong ibabaw?

Dahil ang base figure ay tama, pagkatapos ang lahat ng mga mukha ng mga pyramid ay pantay. Ang bawat isa sa kung saan ay isang isosceles tatsulok, dahil sa gilid gilid ay pantay. Pagkatapos, upang makalkula ang lugar ng isang bahagi ng pyramid kailangan formula na binubuo ng kabuuan ng monomials magkapareho. Ang bilang ng mga salita ay natutukoy sa pamamagitan ng halaga ng mga gilid base.

Ang lugar ng isang isosceles tatsulok ay computed ng formula kung saan kalahati ng ang produkto base ay multiplied sa taas. Ito taas sa pyramid na tinatawag apothem. Nito pagtatalaga - "A". Ang pangkalahatang formula para sa lugar ng pag-ilid ibabaw ay ang mga sumusunod:

S = ½ P * A, kung saan P - perimeter ng base ng pyramid.

May mga beses kapag ito ay hindi kilala sa base side, ngunit ang mga gilid gilid ay (a) flat at ang anggulo sa tuktok (α). Pagkatapos ito ay nakasalalay gamitin ang sumusunod na formula upang makalkula ang lateral area ng pyramid:

S = n / 2 sa ² * kasalanan α.

Task № 1

Kondisyon. Hanapin ang kabuuang lugar ng pyramid, kung base nito ay isang equilateral triangle na may isang bahagi ng 4 cm at may halaga √3 apothem cm.

Desisyon. Dapat itong magsimula sa ang pagkalkula ng ang perimeter base. Dahil ito ay isang regular na tatsulok, pagkatapos ay P = 3 * 4 = 12 cm apothem Bilang ay kilala, maaari isa agad na kalkulahin ang lugar ng buong pag-ilid ibabaw :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Upang makuha ang base tatsulok ay ang halaga ng lugar (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Upang matukoy ang buong lugar na kailangan upang fold ang dalawang nagreresulta halaga: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Sagot. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Kondisyon. May regular na may apat na sulok pyramid. Ang haba ng base ay katumbas ng 7 mm, pag-ilid gilid - 16 mm. Kailangan mong malaman ang ibabaw na lugar.

Desisyon. Dahil ang polyhedron - hugis-parihaba at tama, sa base nito ay isang parisukat. Hearing base area at lateral gilid magagawang upang mabilang ang square pyramid. Ang formula para sa square ay ibinigay sa itaas. At alam ko ang lahat ng side mukha ng tatsulok. Samakatuwid, maaari mong gamitin ang Heron formula para sa pagkalkula ng kanilang lugar.

Ang unang kalkulasyon ay simple at humantong sa numerong ito: 49 mm ^2. Upang kalkulahin ang pangalawang halaga na kailangan semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Ngayon ay maaari naming kalkulahin ang lugar ng isang isosceles tatsulok: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 mm ^2. May apat na triangles, kaya kapag kinakalkula ang pangwakas na numero ay kailangang ma-multiply sa 4.

Nakuha: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Sagot. 267.576 nais na halaga ng ² mm.

Task № 3

Kondisyon. Sa regular na may apat na sulok pyramid ay kinakailangan upang makalkula ang lugar. Ito ay kilala side ng plaza - 6 cm at taas - 4 cm.

Desisyon. Ang pinakamadaling paraan upang gamitin ang mga formula sa produkto ng perimeter at apothem. Ang unang halaga ay matatagpuan simple. Ang ikalawang isang maliit na mas mahirap.

Magkakaroon kami upang matandaan ang Pitagoryan teorama at isaalang-alang ng isang karapatan tatsulok. Ito ay nabuo sa pamamagitan ng ang taas ng pyramid at apothem, na kung saan ay ang hypotenuse. Ang ikalawang leg ay kalahating gilid ng plaza, bilang isang polyhedron taas ay bumaba sa gitna ng mga ito.

Pinapaboran apothem (hypotenuse ng right triangle) ay katumbas ng √ (Marso ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Ngayon ito ay posible upang makalkula ang nais na halaga: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Sagot. 96 cm ^2.

Problema № 4

Kondisyon. Dana regular heksagunal pyramid. Ang mga gilid ng base nito na katumbas ng 22 mm, ang lateral gilid - 61 mm. Ano ang lugar ng pag-ilid ibabaw ng polyhedron na ito?

Desisyon. Ang pagdadahilan sa loob nito ay ang parehong tulad ng inilarawan sa ang gawain №2. Tanging ang pyramid ay ibinigay doon sa square sa ibaba, at ngayon ito ay isang heksagono.

Ang unang hakbang ay kinakalkula sa pamamagitan ng base na lugar ng formula sa itaas ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Ngayon ay kailangan mong mahanap ang half-perimeter ng isang isosceles tatsulok, na isang side face. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 ay nananatiling sa Heron formula upang makalkula ang lugar ng bawat isa sa mga tatsulok, at pagkatapos ay i-multiply ito sa pamamagitan ng anim na fold at ang isa na naka-out na ang mga base.

Pagkalkula sa Heron formula: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. Ang mga kalkulasyon na magbibigay ng lateral ibabaw na lugar: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Ito ay nananatiling upang magdagdag ng hanggang ang mga ito upang malaman ang buong ibabaw: 5217,47≈5217 cm ^2.

Sagot. Grounds - 726√3 cm ^2, ang side ibabaw - 3960 cm ^2, ang buong lugar - 5217 cm ^2.