Fourier-anyo. Fast Fourier-anyo. Discrete Fourier Transform

Fourier pagbabagong-anyo - pagbabagong-anyo, pag-uugnay ng isang tiyak na pag-andar ng isang real variable. Ang operasyon na ito ay ginanap sa bawat oras na nakikita namin ang iba't ibang mga tunog. Tainga gumagawa automatic "pagkalkula", na matupad ang aming kamalayan ay maaari lamang pagkatapos ng pagsusuri ng seksyon ng mas mataas na matematika. pandinig organ sa isang tao transformation constructs, kung saan ang tunog (maginoo vibrational mosyon ng mga particle sa isang nababanat na daluyan, na kung saan palaganapin sa wave form sa solid, liquid o gaseous medium) ay ibinigay sa isang hanay ng sunud-sunod na mga halaga ng mga antas ng lakas ng tunog ng tono ng iba't ibang Heights. Pagkatapos nito, ang utak ay lumiliko ang impormasyon sa lahat ng mga pamilyar na tunog.

Mathematical Fourier Transform

Conversion ng mga sound waves o proseso iba pang vibration (sa pamamagitan ng liwanag na pagpapalabas at karagatan tide at upang stellar o solar cycle) ay maaaring gumanap at sa pamamagitan ng paggamit ng matematika pamamaraan. Kaya, gamit ang mga pamamaraan na ito, ang mga function ay maaaring pinalawak na sa pamamagitan ng pagpapasok vibrational proseso magtakda ng sinusoidal bahagi, ibig sabihin, kulot na curves kung saan pumunta mula sa isang minimum na sa isang maximum at pagkatapos ay muli sa isang minimum, tulad ng mga alon ng dagat. Fourier pagbabagong-anyo - transformation function na kung saan inilalarawan ang phase o amplitude ng bawat sinusoid naaayon sa isang partikular na dalas. Phase ay isang panimulang punto sa curve, at ang malawak - ng taas nito.

Fourier-anyo (halimbawa ay ipinapakita sa larawan) ay isang napakalakas na tool, na kung saan ay ginagamit sa iba't-ibang larangan ng agham. Sa ilang mga kaso, ito ay ginagamit bilang isang solusyon sa halip kumplikadong equation na naglalarawan sa mga dynamic na proseso na nagaganap sa ilalim ng impluwensiya ng liwanag, init o mga de-koryenteng enerhiya. Sa ibang mga kaso, pinapayagan ka upang tukuyin ang mga regular na mga bahagi sa komplikadong waveforms, dahil sa ito ay maaaring maging tunay na bigyang-kahulugan ang iba't-ibang mga pang-eksperimentong obserbasyon sa kimika, gamot at astronomy.

makasaysayang impormasyon

Ang unang tao na mag-aplay ang paraan na ito ay ang French mathematician Zhan Batist Fure. Conversion, magkakasunod na ipinangalan sa kanya, ay orihinal na ginamit upang ilarawan ang mekanismo init pagpapadaloy. Fourier kanyang buong buhay adult ay nakikibahagi sa pag-aaral ang mga katangian ng init. Ginawa niya ng napakalaking kontribusyon sa matematika teorya ng mga pagpapasiya ng The Roots ng algebraic equation. Fourier ay isang propesor ng pagtatasa sa École Polytechnique, ang Kalihim ng Institute of aral ukol sa Ehipto, ay ang imperyal serbisyo, na dulot ng isang paghalo sa panahon ng konstruksiyon ng kalsada sa Turin (sa ilalim ng kanyang pamumuno ay pinatuyo ng higit sa 80 libong kilometro kuwadrado ng malarya swamps). Gayunpaman, ang lahat aktibismo ito ay hindi hihinto ang siyentipiko ay nakikibahagi sa matematikal na pagsusuri. Sa 1802 ito ay nagmula ng isang equation na naglalarawan sa pagpapalaganap ng init sa solids. Sa 1807, siyentipiko natuklasan ng isang paraan para sa solving ang equation na ito, na kung saan ay naging kilala bilang "Fourier Transform".

thermal kondaktibiti analysis

Ang mga mananaliksik na ginamit ng isang matematikal na paraan upang ilarawan ang mekanismo init pagpapadaloy. Isang maginhawang Halimbawa, kung saan walang mga kahirapan sa pag-compute ay ang pagpapalaganap ng thermal enerhiya sa pamamagitan ng isang bakal na singsing, isang bahagi nahuhulog sa isang apoy. Upang isagawa ang mga eksperimento Fourier red hot bahagi ng ring at inilibing siya sa pinong buhangin. Pagkatapos noon, natupad ang mga sukat ng temperatura sa ang kabaligtaran bahagi niyaon. Sa una, ang init pamamahagi ay irregular: bahagi ng ang singsing - malamig, at ang iba pang - hot, sa pagitan ng zone ay maaaring obserbahan ng isang matalim na temperatura gradient. Gayunpaman, sa panahon ng pamamahagi ng init sa kabila ng ibabaw metal, ito ay nagiging mas pare-pareho. Kaya, sa lalong madaling panahon, ang prosesong ito ay tumatagal ng anyo ng isang sine wave. Una graph dahan-dahan ay nagdaragdag at din nababawasan nang maayos, nang wasto ang mga batas ng pagkakaiba-iba ng mga cosine o sine function. Wave nang paunti-unti equalized at bilang isang resulta ang temperatura ay nagiging pare-pareho sa buong ibabaw ng ring.

Ang may-akda ng ang paraan na ipinapalagay na ang unang pamamahagi ay medyo irregular maaaring decomposed sa isang bilang ng mga elementary sine waves. Ang bawat isa sa kanila ay magkakaroon ng phase (paunang posisyon) at ang pinakamataas na temperatura. Kaya bawat isa tulad component pagbabago mula sa isang minimum na sa isang maximum at muli upang makumpleto ang rebolusyon sa paligid ng mga oras na ring integer. Component pagkakaroon ng isang panahon na kung saan ay tinatawag na ang mga pangunahing maharmonya, at ang halaga na may dalawa o higit pang mga panahon - ang pangalawang at iba pa. Halimbawa, ang isang matematikal na pag-andar na naglalarawan ng pinakamataas na temperatura, ang phase o posisyon na tinatawag na ang Fourier ibahin ang anyo ng pag-andar ng pamamahagi. Scientist nagdala ng isang solong component na ay mahirap na mathematical paglalarawan, para sa madaling-gamitin na tool - hilera ng sine at cosine, sa dami ng pagbibigay ng paunang pamamahagi.

Ang kakanyahan ng pagtatasa

Paglalapat ng pag-aaral na ito sa conversion ng init pamamahagi sa solid object, pagkakaroon ng isang hugis ng bilog hugis, isang mathematician reasoned na pagtaas ng panahon ng sinusoidal components humantong sa kanyang mabilis na pamamasa. Ito ay malinaw na makikita sa main at ikalawang harmonika. Ang huling temperatura ay umabot sa dalawang beses ang maximum at minimum na mga halaga sa isang solong pass, at sa unang - isang beses lamang. Ito ay lumiliko out na ang layo manlalakbay sa pamamagitan ng init sa ikalawang maharmonya ay kalahati na ng core. Sa karagdagan, ang gradient ng ikalawang kalahati rin ang magiging steeper kaysa sa una. Samakatuwid, dahil ang isang mas matinding thermal flux ay ipinapasa balo minimal na distansya, at pagkatapos na ito ay damped maharmonya apat na beses na mas mabilis kaysa sa pangunahing, bilang isang katangian ng oras. Sa sumusunod na ang proseso ay magiging mas mabilis. Mathematician naniniwala na ang paraan na ito ay nagpapahintulot sa amin upang makalkula ang proseso ng paunang pamamahagi ng temperatura sa oras.

call contemporaries

Fourier Transform algorithm ay naging isang hamon sa ang manilay-nilay pundasyon ng matematika sa oras. Sa unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo, karamihan sa mga kilalang siyentipiko, kabilang Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre at Biot hindi tanggapin ang kanyang badya na ang temperatura ng ang paunang pamamahagi ay decomposed sa mga sangkap sa anyo ng mga pangunahing wave at mas mataas na frequency. Gayunman, ang Academy of Sciences ay hindi maaaring huwag pansinin ang mga resulta na nakuha sa matematiko, at iginawad sa kanya ang Prize para sa teorya ng init pagpapadaloy ng mga batas, pati na rin ang pagsasagawa nito sa paghahambing na may pisikal na mga eksperimento. Sa Fourier diskarte, ang pangunahing pagtutol ay ang katunayan na ang isang hindi walang patlang na pag-andar ay kinakatawan ng isang kabuuan ng ilang mga sinusoidal function, na kung saan ay tuloy-tuloy na. Pagkatapos ng lahat, ito ay naglalarawan sa mga busaksak tuwid at hubog mga linya. Contemporary siyentipiko ay hindi kailanman nakaranas ng ganoong sitwasyon, kapag ang mga patlang function ng inilarawan sa pamamagitan ng isang kumbinasyon ng tuloy-tuloy na, tulad ng parisukat, linear, sine o nagtatanghal. Sa kaganapan na ang isang dalub-agbilang ay karapatan sa kanyang assertions, ang kabuuan ng isang walang-katapusang serye ng mga trigonometriko function ay dapat na limitado sa ang eksaktong bilis. Habang tulad ng isang claim tila walang katotohanan. Gayunman, sa kabila ng mga pag-aalinlangan ng ilang mga mananaliksik (eg Claude Navier, Sofi Zhermen) broadened ang saklaw ng pananaliksik at dinala ang mga ito sa labas ng pag-aaral ng init pamamahagi. Isang matematika, samantala, patuloy na magdusa ang tanong ng kung ang isang kabuuan ng ilang mga sinusoidal function ay nabawasan sa isang eksaktong representasyon ng busaksak.

200-taong kasaysayan

Ang teoryang ito ay may nagbago sa paglipas ng dalawang siglo, ngayon ito ay sa wakas ay nabuo. Sa tulong ng spatial o temporal function ay pinaghiwa-sinusoidal components na may isang dalas, phase at malawak. conversion na ito ay nakuha sa pamamagitan ng dalawang magkaibang mga mathematical pamamaraan. Ang unang ng mga ito ay ginagamit sa kaso kapag ang source ay isang tuloy-tuloy na pag-andar, at ang pangalawang - sa kaso kung saan ito ay kinakatawan ng isang mayorya ng hiwalay indibidwal na pagbabago. Kung ang expression ay nakuha mula sa mga halaga, na kung saan ay tinukoy sa hiwalay na pagitan, maaari itong nahahati sa ilang mga hiwalay sinusoidal frequency expression - mula sa pinakamababang at pagkatapos ay lambal, triple, at iba pa sa itaas ng mga pangunahing. Ang halagang ito ay tinatawag na ang Fourier series. Kung ang unang expression ay nagtatakda ng halaga ng bawat tunay na numero, maaari itong hinati-hati sa maramihang mga sinusoidal lahat ng posibleng mga frequency. Ito ay tinatawag na isang Fourier mahalaga, at ang desisyon ay nagpapahiwatig ng isang pagbabago ng integral function. Anuman ang paraan para sa pagkuha ng transformation, para sa bawat dalas ay dapat isaad dalawang numero: amplitude at frequency. Ang mga halaga ay ipinahayag bilang isang solong kumplikadong numero. Expression kumplikadong variable theory kasama ng mga Fourier pagbabagong-anyo upang maisagawa ang mga kalkulasyon pinapayagan ang disenyo ng iba't-ibang mga electric circuits, ang pagtatasa ng makina vibrations, ang pag-aaral ng wave pagpapalaganap mekanismo at isa pa.

Fourier-anyo ngayon

Sa panahong ito, ang pag-aaral ng proseso na ito talaga bumabagsak sa paghahanap ng mga epektibong pamamaraan para sa paglipat mula sa pag-andar upang i-convert ito pabalik sa isip. Solusyon na ito ay tinatawag na direkta at kabaligtaran Fourier-anyo. Ano ang ibig sabihin? Upang matukoy ang mga integral at gumawa ng isang direktang Fourier Transform, maaari mong gamitin mathematical pamamaraan, ngunit maaari mong analytic. Sa kabila ng ang katunayan na kapag sila ay ginagamit sa kasanayan mayroong ilang mga kahirapan, karamihan integrals nai-natagpuan at ipinasok sa matematika handbooks. Sa tulong ng de-numerong mga pamamaraan maaaring kalkulahin expression, ang hugis ng na kung saan ay batay sa mga pang-eksperimentong data, isang function na integrals sa mga talahanayan ay nawawala, at ang mga ito mahirap na isipin sa isang analytical form.

Bago ang pagdating ng mga kalkulasyon computer engineering tulad transformations ay napaka nakakainip, nangangailangan ang mga iyon manual pagsasagawa ng isang malaking bilang ng mga arithmetic operation na nakasalalay sa mga bilang ng mga puntos na naglalarawan sa pag-andar wave. Upang mapadali ang pag-areglo sa araw na ito, may mga espesyal na mga programa, pinahihintulutan na ipatupad ang bagong analytical pamamaraan. Kaya, sa 1965, Dzheyms Kuli at Dzhon Tyuki nilikha software na naging kilala bilang "Fast Fourier Transform". Ito ay ini-imbak ng panahon ng pagkalkula sa pamamagitan ng pagbabawas ng bilang ng mga multiplications sa pag-aaral ng curve. "Mabilis Fourier Transform" Ang pamamaraan ay batay sa paghahati ng curve sa isang malaking bilang ng mga pare-parehong halaga sample. Alinsunod dito, ang bilang ng mga multiplications ay mababawasan ng kalahati ng sabay pagbabawas ng bilang ng mga puntos.

Paglalapat ng mga Fourier Transform

Ang prosesong ito ay ginagamit sa iba't-ibang mga patlang: Sa numero ng teorya, physics, signal processing, combinatorics, probabilidad teorya, cryptography, mga istatistika, oseanograpya, optika, akustika, at iba pang mga geometries. Rich mga posibilidad para sa paggamit nito ay batay sa isang bilang ng mga kapaki-pakinabang na mga tampok, na kung saan ay tinatawag na "pag-aari ng Fourier pagbabagong loob." Ipaalam sa amin suriin ang mga ito.

1. Ang pag-andar ng conversion ay isang linear operator at isang kaukulang normalization ay unitary. ari-arian na ito ay kilala bilang ang Parseval teorama, o sa pangkalahatang kaso, ang teorama Plansherelja o Pontrjagin dualism.

2. Ang conversion ay baligtaran. Dagdag pa rito, ang kabaligtaran resulta ay malaki-laking katulad na hugis tulad ng sa direktang pagtugon.

3. Ang sinusoidal pangunahing expression ay ang kanilang sariling mga differentiated function. Ang ibig sabihin nito na ang naturang pagkatawan nagbabago linear na equation na may pare-pareho coefficients sa isang maginoo algebraic.

4. Ayon sa "kahukutan" teorama, ang proseso ay gumagawa ng isang kumplikadong mga pagpapatakbo sa elementarya multiplication.

5. Discrete Fourier Transform ay maaaring mabilis na idinisenyo sa isang computer gamit ang "mabilis" pamamaraan.

Pagkakaiba-iba ng Fourier Transform

1. Karamihan sa mga madalas na ang termino ay ginagamit upang sumangguni sa isang patuloy na pagbabago, na nagbibigay ng anumang quadratically integrable expression bilang ang kabuuan ng mga komplikadong exponential expression sa mga tiyak na angular frequency at amplitudes. Species na ito ay may ilang mga iba't-ibang paraan, na kung saan ay maaaring naiiba pare-pareho coefficients. Ang tuloy-tuloy na paraan ng ay nagsasama ng isang conversion table, na kung saan ay matatagpuan sa matematikal na handbooks. Ang isang generalised kaso ay ang fractional conversion, kung saan ang prosesong ito ay maaaring itataas sa ang nais na tunay na kapangyarihan.

2. Ang tuloy-tuloy na paraan na ito ay isang generalisation ng mga naunang pamamaraan ng Fourier series na tinukoy para sa anumang mga pana-panahong pag-andar o expression, na umiiral sa isang limitadong lugar at kumakatawan sa kanila bilang isang serye ng sinusoids.

3. Discrete Fourier-ibang-anyo. Ang pamamaraan na ito ay ginagamit sa computing para sa mga siyentipikong pag-compute at digital signal processing. Upang isagawa ang ganitong uri ng pagkalkula ay kinakailangan na magkaroon ng isang pag-andar ng pagtukoy sa isang hiwalay na hanay ng mga indibidwal na mga punto, panaka-nakang o limitado rehiyon sa halip na tuloy-tuloy na Fourier integrals. Signal conversion sa kasong ito ay kinakatawan bilang isang kabuuan ng sinusoids. Ang paggamit ng "mabilis" pamamaraan ay nagbibigay-daan sa paggamit ng mga digital na mga solusyon para sa lahat ng mga praktikal na layunin.

4. Ang window Fourier-anyo ay isang pangkalahatan view ng ang klasikong paraan. Hindi tulad ng karaniwang mga solusyon kapag ang signal spectrum ay ginagamit, na kung saan ay kinuha sa ang buong hanay ng pagkakaroon ng variable na ito ay ng mga partikular na interes dito ay lamang ang mga lokal na frequency distribution habang pinapanatili ang orihinal na variable (oras).

5. Ang dalawang-dimensional Fourier-anyo. Ang pamamaraan na ito ay ginagamit upang magtrabaho sa dalawang-dimensional array ng data. Sa ganoong kaso, ang conversion ay gumanap sa isang direksyon, at pagkatapos - sa isa.

konklusyon

Ngayon, ang Fourier pamamaraan ay matatag nakabaon sa iba't-ibang larangan ng agham. Halimbawa, sa 1962 ito ay binuksan ang hugis ng DNA double Helix gumagamit ng Fourier analysis kasabay ng X-ray pagdidiprakt. Kamakailang mga crystals na nakatutok sa DNA fibers, na nagreresulta sa isang imahe na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdidiprakt, naitala sa film. Ang larawan na ito ay nagbigay ng impormasyon tungkol sa halaga ng amplitude pamamagitan ng paggamit ng Fourier-anyo na ito kristal istraktura. Phase data na nakuha sa pamamagitan ng paghahambing ng DNA pagdidiprakt cards na may mga card na nakuha sa pag-aaral ng mga katulad na mga istraktura ng kemikal. Bilang isang resulta, biologist naibalik kristal istraktura - ang orihinal function.

Fourier Transform maglaro ng isang malaking papel sa pag-aaral ng outer space, ang pisika ng mga materyales semiconductor at plasma, microwave akustika, oseanograpya, radar, seismology at medikal na eksaminasyon.